MATERI LENGKAP DAN CONTOH SOAL MATEMATIKA DISTRIK

Teori Matematika Diskrit

  

·         Diskrit:

1.      Terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda

2.      Elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnect)

Contoh: himpunan bilangan bulat (integer), -31 juta – 31 juta

·         Lawan diskrit adalah continue atau menerus (continous)

Contoh: himpunan bilangan riil (real), decimal.

·         Angka 63 adalah sebagai huruf a dalam kode computer.

·         Computer digital bekerja secara diskrit

·         Matematika diskrit merupakan ilmu dasar dalam bidang computer.

·         Matematika diskrit memberikan landasan matematis untuk kuliah IT.

Algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan computer, keamanan computer, system operasi, teknik kompilasi, dll.

·         Materi dalam matematika diskrit:

1.      Teori himpunan (set)

2.      Relasi dan fungsi

3.      Matriks

4.      Barisan dan deret (bilangan dan geometri)

5.      Logika matematika

6.      Teori bilangan bulat

7.      Aljabar Boolean (Boolean algebra)

8.      Kombinatorial (combinatorics)

9.      Teori peluang diskrit (diskrit probability)

10.  Fungsi pembangkit dan analisis rekurens

11.  Pohon (tree)

12.  Teori graf (graph)

13.  Kompleksitas algoritma (algorithm complexity)

14.  Otomata dan teori bahasa formal (automata and formal language theory)

Mari kita bahas satu-persatu, pembahasan pertama yaitu himpunan.

HIMPUNAN

Definisi himpunan yaitu sembarang kumpulan objek. Dengan kata lain himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang merupakan suatu kesatuan. Elemen dari himpunan adalah objek-objek itu sendiri. Jadi, himpunan adalah kumpulan objek (“elemen”) yang berbeda.

a ϵ A          “a adalah elemen dari A”

      “a adalah anggota dari A”

a ϵ A          “a bukan elemen dari A”

A= {a, , …, }            “A mengandung…..”

Enumerasi mencacahkan anggotanya (enumerasi). Himpunan dinyatakan dengan menyebutkan semua anggota himpunannya didalam satu kurung kurawal. Contoh:

Himpunan empat bilangan ganjil pertama: A= {1,3,5,7}

Himpunan bilangan bulat ditulis {…, -2, -1, 0, 1, 2}

     

Simbol Standart (baku) yaitu  suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu symbol standart (baku) yang telah diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiah).

§  P= Himpunan bilangan bulat positif: {1,2,3,…}

§  N= Himpunan bilangan alami (natural): {1,2,…}

§  Z= Himpunan bilangan bulat: {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

§  Q= Himpunan bilangan rasional

§  R= Himpunan bilangan riil

§  C= Himpunan bilangan kompleks

§  U/S= Himpunan yang universal (semesta)

Misalkan U: {1, 2, 3, 4, 5} dan Adalah himpunan bagian dari U, dengan A= {1, 3, 5}

     

Notasi, dengan menulis semua elemennya diantara tanda akolade -> {}. Syarat keanggotaannya adalah menyebut suatu sifat karakteristik dengan nama dapat ditentukan, apakah satu objek anggota dari himpunan dari himpunan tersebut atau bukan. Misal: { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}

§  {x, …, }      : himpunan yang terdiri dari unsur , …,

§  {x | p(x)}         : himpunan semua x dengan x adalah unsur sifat p(x)

§  x ϵ X   : x dalah unsur dari X

§  x ϵ X   : x bukan unsur dari X

§  X = Y  : kesamaan himunan (X & Y mempunyai unsur yang sama)

§  |X|                    : jumlah unsur di X

§  Ø                     : himpunan kosong

§  X ≤ Y  : X adalah subset dari Y

§  X ≥ Y  : X adalah superset dari Y

§  ɤ(x)      : pangkat himpunan (himpunan kuasa) dari x

§  x atau x’          : komplemen dari x

Kesamaan himpunan adalah himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki elemen yang tepat sama. Contoh:

§  A= {9, 2, 7, -3}, B= {7, 9, -3, 2} => A=B

§  A= {anjing, kucing, kuda}

B= {kucing, kuda, tupai, sapi}

Jadi, A ≠ B

Contoh himpunan:

§  A = Ø  himpunan kosong

§  A = {Z}          catatan: Z ϵ A, tapi Z ≠ {Z}

§  A = {{b, c}, {c, x, d}}

§  A = {{x, y}}   catatan: {x, y} ϵ A, tapi {x, y} ≠ {{x, y}}

§  A = {X | P(x)} “himpunan semua x sedemikian hingga P(x)”

§  A = {x | x ϵ N ^ X > 7} = {8, 9, 10, …}        “notasi pembentuk himpunan”

Sekarang kita bisa mendefinisikan himpunan bilangan rasional Q:

Q = {a/b | a ϵ Z ^ b ϵ } atau Q = {a/b | a ϵ Z ^ b ϵ Z ^ b ≠ 0}

Bagaimana dengan bilangan riil R?

R = {r | r adalah bilangan riil}

RELASI DAN FUNGSI

Operasi-operasi dasar

1.      Gabungan (Union)

2.      Irisan (Intersection)

3.      Penjumlahan

4.      Selisih

Diagram venn adalah diagram yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar.

1.      Gabungan (Union)

Misal: A gabungan B (semua unsur di A dan B)

Notasi: A U B

contoh:

A= {1, 2, 3, 4}     

B= {2, 4, 6, 8}     

Jadi, A U B= {1, 2, 3, 4, 6, 8}

2.      Irisan (Intersection)

Notasi: A ∩ B

Contoh:

A= {1, 2, 3, 4}     

B= {2, 4, 6, 8}     

Jadi, A ∩ B= {2, 4}

3.      Penjumlahan

Notasi: A + B

Contoh:

A= {1, 2, 3, 4}     

B= {2, 4, 6, 8}     

A + B= {1, 3, 6, 8}

B + A= {1, 3, 6, 8}

4.      Selisih

Notasi: A – B / B – A

Contoh:

A= {1, 2, 3, 4}     

B= {2, 4, 6, 8}     

A - B= {1, 3}

B - A= {6, 8}

Selisih simetrik

A ∆ B= (A U B) – (A ∩ B)

Contoh:

A= {1, 2, 3, 4} dan B= {2, 4, 6, 8}         

A ∆ B        = (A U B) – (A ∩ B)

      = {1, 2, 3, 4, 6, 8} - {2, 4}

      = {1, 3, 6, 8}

Contoh soal

Diketahui:

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A= {1, 2, 3, 5, 7}

B= {2, 3, 4, 8, 10}

Tentukan:

a.       A U B       = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

b.      A ∩ B       = {2, 3}

c.       A + B        = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

d.      A – B        = {1, 5, 7}

e.       B – A        = {4, 8, 10}

f.       A   = {4, 6, 8, 9, 10}

g.      B   = {1, 5, 6, 7, 9}

h.      (A U B)’    = {4, 6, 8, 9, 10}

i.        A ∆ B        = (A U B) – (A ∩ B)

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {2, 3}

= {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Sifat-sifat

·         Hukum assosiatif

(A U B) U C = A U (B U C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

·         Hukum kumulatif

A U B = B U A

A ∩ B = B ∩ A

·         Hukum distributif

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

·         Hukum identitas

A U ϕ = A

A ∩ S = A

·         Hukum komplemen

A U A = S

A ∩ A = ϕ

·         Hukum idempoten

A U A = A

A ∩ A = A

·         Hukum ikatan

A U S = S

A ∩ ϕ = ϕ

·         Hukum penyerapan

A U (A ∩ B) = A

A ∩ (A U B) = A

·         Hukum involusi

A = A

·         Hukum de morgan untuk himpunan

(A U B) = A ∩ B

(A ∩ B) = A U B

Latihan!

Diketahui: S= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}           A= {1, 4, 7, 10}   B= {1, 2, 3, 4, 5}   C= {2, 4, 6, 8}

Tentukan:

1.      A U B                               = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 10}

2.      B ∩ C                                = {2, 4}

3.      A – B                                = {7, 10}

4.      B – C                                 = {1, 3, 5}

5.      A ∆ B                                = (A U B) – (A ∩ B)

= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 10} – {1, 4}

= {2, 3, 5, 7, 10}

6.      B ∩ (C - A)                       = {6, 7, 8, 9, 10} ∩ {2, 6, 8}

= {2, 6, 8}

7.      A ∩ (B U C)                     = {1, 4, 7, 10} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

={1, 4}

8.      (A ∩ B) – C                      = {1, 4} – {2, 4, 6, 8}

= {1}

9.      (A U B) – (C - B)  = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 10} – {6, 8}

= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 10}

10.  (A ∩ B) U C                     = A U B U {2, 4, 6, 8}

= {2, 3, 5, 8, 9} U {6, 7, 8, 9, 10} U {2, 4, 6, 8}

= {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} U {2, 4, 6, 8}

= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}